Spannende Aufgabe aus dem KÄNGURU Wettbewerb - Kannst du sie lösen?
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- Опубликовано: 23 июл 2024
- Mathematik Wettbewerb
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) eine Aufgabe aus dem Känguru Wettbewerb 2023 mit zwei Halbkreisen und parallelen Geraden. Wir verwenden den Satz des Pythagoras, um das Quadrat der Länge der Seite AD zu berechnen und lösen die quadratische Gleichung. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Känguru Wettbewerb
0:27 Aufgabenstellung
1:48 Lösung
5:14 Satz des Pythagoras
7:18 Quadratische Gleichung lösen
9:25 Gleichung vereinfachen
11:27 Bis zum nächsten Video :)
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Warum rechnest du diese Aufgabe auf diese Weise?
Wenn man hier in diesem Beispiel den Satz des Pythagoras anwenden will, dann wäre es viel logischer den gesamten Bereich zwischen den beiden Kreismittelpunkten als eine Variable zu berechnen.
Oder man hingegen den Weg und sucht den horizontalen Abstand zwischen dem Kontaktpunkt der Kreise und dem Kreismittelpunkt, dann wäre es naheliegend das ganze über den Einheitskreis zu lösen(1=x²+y² => 1-x²=y² => 1-[1/2]²=y² => 1-1/4=y² => 3/4=y² => y=wurzel[3]/2).
Nur für die direkte Berechnung von y wie in diesem Beispiel eingezeichnet, fällt mir spontan keine Variante ein. Wieso wird dann nicht vor der Rechnung schon in eine sinnvolle Variable umgewandelt? Rechenwege nicht unnötig zu verkomplizieren ist schließlich auch eine wichtige mathematische Fähigkeit.
Ich finde, du leistest einen immens wertvollen Beitrag für die Gesellschaft - indem du jedes Mal aufs neue zeigst, dass Mathe nicht nur ein Angstfach sein kann, sondern auch richtig cool!!
Nun übertreib mal nicht. Wir haben über 80 Millionen Einwohner, da sind ~21 1/2k verschwindend gering ;-)
Aber für mich ist es auch mein Lieblingsmathekanal. Kommt alles sehr sympathisch rüber.
Das ist wieder genial ausgesucht. Ob Pythagoras, ob Trigonometrie oder Steigung der Gerade etc.. Man könnte sehr gut die Zusammenhänge erkennen. Hut ab und grosses Danke Schön.
*großes *Dankeschön 😊
Ich bin im Studium und habe alle Mathekurse erledigt. Ich beschäftige mich grundsätzlich nicht mehr großartig mit Mathe, außer beim Programmieren. Deine Art die Aufgaben darzustellen ist echt großartig! Als ob ich an einem Rätsel mitdenken muss und man hat nicht das Gefühl, dass es eine *Aufgabe* ist. Das muss man unbedingt an die Kinder so weitergeben :D
Ich liebe diese Aufgaben, bei dem man ein wenig "out of the box" denken muss. Auch für mich als Ingenieur immer eine gute Kopfübung. Vielen Dank für deine Videos!
Naja das ist schon ziemlich straight forward das problem und nicht outside the box.
Klugscheißer
Mal wieder genial erklärt...
und sei gewiß, dass schon ein gutes halbes Dutzend Zahlenfans meiner mathematischen Weihnachts-/Neujahrsknobeleien zu Deinen aufmerksamen Zuschauern geworden sind 😘😇
Ist mittlerweile fast 10 Jahre her, aber ich erinnere mich noch an diese Aufgabe, ein bisschen PTSD sozusagen.
Eine Wahnsinnsaufgabe. Sehr interessant. .. Knack die Nuss!!!!!!!1
Jaaa! Chaos mit Susanne! Perfekt! Der Witz für mich war, gleich am Anfang auf Pythagoras zu kommen, obwohl weit und breit kein Dreieck zu sehen ist! Und so war dann doch wieder alles recht unkompliziert! (Känguru in 2½ Minuten?) Vielen Dank, hat wieder Spaß gemacht! 👍😊👏🎶
Me too😅 (war auch meine einzige Chance, das zu berechnen)
Super!!!!❤
Das ist erheblich einfacher als mein Lösungsweg. Ich habe in den einzelnen Kreisen mit dem Satz von Thales gearbeitet und musste anschließend komplizierere Gleichungen lösen.
Immer wieder spannend und unterhaltsam - auch für Erwachsene...
Danke, dass du diesesmal kurz erklärt hast, warum die Radien am Berührpunkt der Kreise auf einer Geraden liegen.
Schönes Video!
Rund um den Känguru-Wettbewerb wollte ich demnächst auch tatsächlich mal was machen.
Viele Grüße, Becky
Klasse Videos die du machst. Bei dieser Aufgabe 2 Minuten mit rechenweg ist aber sehr sportlich!
Zuerst einmal ein super Video. Ich gebe selbst gern Nachhilfe und hab mir bei dir schon das ein oder andere angeschaut. Ich bin über Sinus und cosinus ran gegangen. Sin um großen Dreieck mit AD als Hypothenuse und im kleinen Dreieck im Halbkreis cosinus mit AD/2 als gegenkathete. Dann über den Satz sin hoch 2 + cos hoch 2 =1 eine biquadratische Gleichung erhalten und durch Substitution gelöst.
Ich höre manchmal deine Lieder die sind cool😎👍✌️
Mein Weg war über den Satz des Thales. Das ganze Gebilde ist ein symmetrisches Objekt, man benötigt also nur einen der beiden Kreise (in meinem Beispiel den linken). Wenn man nun den Schnittpunkt von AD mit dem Kreis mit dem rechten Schnittpunkt des Kreises mit der unteren Geraden verbindet (Punkt B), erhält man ein rechtwinkliges Dreieck (im weiteren als Standard-Dreieck abc benannt). Die Höhe ist 0,5. Es ergeben sich nun zwei Gleichungen: a²+b²=c², also =4. Weiterhin 1/a² + 1/b² = 1/h², also ebenfalls =4. Man hat dann ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, dass man nach b² auflösen kann. Man erhält dabei zwei Lösungen: ein kleines und ein größeres, man benötigt das größere ( 2 + SQRT(3) ), dass man dann nur noch mit vier (wegen Quadrat) multiplizieren muss. Zeitlich sicherlich nicht schneller als die Lösung im Video.
Hallo, erst einmal war das eine sehr logische und lückenlose Erklärung und das Video hat mir sehr gefallen. Jetzt zu der Aufgabe: Ich hätte eine Route eingezeichnet und mithilfe der Seitenlängen von BD und dem Satz des Pythagoras dann die gesamte Strecke von B bis zum Rand, bzw. bis unter das D ausgerechnet. Zum Schluss muss man nur noch den Satz des Pythagoras für die Stecke AD anwenden und fertig.
Prima erklärt und in zweieinhalb Minuten gelöst 👍😂.
Danke! Ich habe viel Spaß mit den Videos
Dankesehr Tomas!!
Ich habe erst blöd aus der Wäsche geguckt, bis Du @5:55 die beiden grünen Radien mit der Länge 1 eingezeichnet hast. Da musste ich dann laut lachen! Super! 🙂 Und wieder mal Danke!
Sehr sehr coole Aufgabe. 👍👍
Danke! Hallo Susanne, die Aufgabe hast Du wie eine perfekte Lehrerin vorgerechnet. Den Schwierigkeitsgrad fand ich für die 9/10 Klasse ganz schön hoch und das in 2,5 Minuten. Ich denke, das war wohl die Schwerste von 30 Aufgaben. Herzliche Grüße!
Ich kann dir sagen, dass bei uns an der Schule niemand die Aufgabe im Wettbewerb gelöst hat, alleine schon auf Grund des enormen Zeitaufwands.
@@eingoogle-nutzer9621 Hallo, ich hätte das in dem Zeitraum auch nicht geschafft, obwohl ich Abi habe. Ich brauchte schon mehr Zeit zum überlegen. FreundlicheGrüße!
Habe mal am Känguru Wettbewerb teilgenommen. Ich kann dir sogar sagen, dass es sich um eine mittelschwere Aufgabe erst handeln würde. Die ganz schwierigen Aufgaben bringen auch Lehrer zum erliegen.
Vielen Dank für deine Videos.
Dank dir habe in der mündlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik 14 Punkte erreicht. Mach weiter so.
sehr verständlich,danke.
Ich finde die Zusammenhänge immer interessiert. Radius, der normal/orthogonal auf der Tangente steht.
Hallo Susanne,
zunächst Liebe Grüße.
Mein Weg zur Lösung:
zunächst male ich 1 Hilfslinie, die senkrecht auf CD steht und durch D verläuft. Den Schnittpunkt mit der der nach rechts verlängerten Geraden AB bezeichne ich mit E.
Das so entstandene Dreieck AED ist rechtwinklig mit den Katheten AE und DE und der Hypotenuse AD
DE entspricht dem Radius eines Halbkreises, also 1m
AE entspricht den Durchmessern der beiden Halbkreise, also 4*der Radius und somit 4m
Da das Dreieck rechtwinklig ist, lässt sich das gesuchte Quadrat der Hypotenuse AD mit Pythagoras berechnen
AD ^2 =4m^2+1m^2 = 16m^2 +1m^2 =17m^2
Das gesuchte Quadrat der Strecke AD beträgt also 17m^2
Dir, Thomas und allen anderen hier eine schöne Restwoche.
LG aus dem Schwabenland.
Edit: Kam leider jetzt erst dazu, das Video dazu anzuschauen um festzustellen, dass meine Lösung komplett falsch war und dass ich offensichtlich das Video zu frph gestoppt hatte... sonst hätte mir spätestens bei den Antwortmöglichkeiten auffane müssen, dass mein Lösungsversuch nichts war.
Entschuldigung allen, die ich durch meinen falschen Lösungsansatz, respektive meine falsche Lösung auf die falsche Fährte gelockt habe und Dir liebe Susanne einmal mehr lieben Dank für deine Erklärungen.
Allen einen schönen Abend.
LG nochmal aus dem Schwabenland.
Eine Alternative ist, die Eigenschaften des Thaleskreises zu nützen.
Es sei S der Schnittpunkt der Strecke x mit den beiden Halbkreisen, dann ist das Dreieck ASB rechtwinklig. Die Seite AB hat die Länge 2, die Höhe ist aus Gründen der Symmetrie offensichtlich 1/2. Somit gilt, dass die Fläche dieses Dreiecks 2 x 1/2 x 1/2 = 1/2 beträgt. Die Fläche entspricht aber außerdem dem halben Produkt der Katheten, also AS x SB x 1/2 = 1/2. Somit gilt, SB = 1 / AS.
Für dieses Dreieck gilt, weil rechtwinkelig, der Satz des Pythagoras, also AS² + SB² = 2². Durch Substitution von SB und ein bisschen Umformen erhalten wir als Ergebnis einer (doppel-)quadratischen Gleichung schließlich AS² = 2 + SQRT(3). (Die Lösung 2 - SQRT(3) fällt aus, weil es die Länge kürzeren Kathete, also von SB ist.) AS = x/2, der Rest ist also trivial.
Hallo. Erstmal vielen Dank für die schönen Videos. Es macht immer Spaß selbst daran rumzurätseln / -rechnen und dann die (eine) Lösung von Ihnen zu bekommen. Bitte so weiter machen.
Bei dieser Aufgabe hätte ich den Berührpunkt der 2 Kreise als E bezeichnet und von dort nach unten senkrecht zur unteren parallelen eine Strecke eingezogen und als EF bezeichnet. Die Länge der Strecke ist 0,5, da der Berührpunkt schon aus Symmetriegründen in der Mitte liegen muss und die Parallelen 1 von einander entfernt sind, was aus den Halbkreisradien und den Berührpunkten folgert. Der Mittelpunkt des linken Halbkreises sei M und dann kann man einfach folgern, dass die Strecke MF = 1/2*Wurzel(3) sein muss, da dies dem Cosinus von 30 Grad entspricht. Die 30 Grad ergeben sich daraus, wenn der Sinus den Wert 0,5 (= Strecke EF) annimmt bei einem Kreis mit Radius 1 (= Einheitskreis).
Daraus kann man in meinem Dreieck AEF die Länge der Strecke AE durch den Pythagoras aus den Strecken AF (= MF+1 ) und EF berechnen. Wenn man nun noch bedenkt, dass die Strecke AE und die Strecke ED gleich lang sind, dann kann man schließen, dass AD² = 4 * AE² sein muss. Daher reicht es aus mit dem Pythagoras des Dreiecks AEF den Wert AE² zu errechnen und diesen * 4 zu nehmen um auf das Ergebnis zu kommen (Antwort e). Man muss hier also keine Wurzel ziehen und eine der beiden Lösungen aus Logikgründen aussortieren.
Vielen Dank nochmal und weiter so.
Ich habe das ganz ähnlich berechnet, mir fehlt aber irgendwo eine 2.
Für den linken Halbkreis bekomme ich für die untere Seite des Dreiecks ABE (nach deiner Bezeichnung): 1+1/2*wurzel(3)
Die rechte Seite ist 1/2 (von E runter zur unteren horizontalen Linie)
Dann komme ich mit dem Pythagoras auf (AE)^2=2+1/2*wurzel(3), was dann für (AD)^2=8+2*wurzel(3) ergibt, statt 4*wurzel(3)…
Habe ich irgendwo einen Denkfehler, oder bin ich so spät am Abend nur zu dumm zum Rechnen?
Nevermind, die 1. binomische Formel sollte man auch um halb 11 noch können.. ich hab die 2 bei 2ab vergessen gehabt.
@@horstgunther9521 Hallo, kann es sein, dass bei der Berechnung des Pythagoras bei dem Quadrat der Strecke AE eine 2 verloren ging? (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
@@user-cr8im4fs4j ja genau. Nachdem ich jede Zeile einzeln nebenher in Excel mitgerechnet hab, ist mir die fehlende 2 in der Binomischen Formel auch aufgefallen.
Vielen Dank für die Mühe! :)
Thanks!
Dankeschööön!
Ich merke mit Schrecken, dass ich allmählich nach diesen Mathe-Filmchen süchtig werde...
Gibt schlimmeres
Und ich frag mich immer wieder aufs Neue, wie man solche Aufgaben in der kurzen Zeit vom Känguruwettbewerb schaffen soll.
Aber super Erklärung!
Das war die Aufgabe an der ich gescheitert bin. Danke für die Lösung ;)
Als großer Fan des Satz des Thales hab ich es damit probiert.
Wenn man den Schnittpunkt S nennt, kriegt man einen Pythagoras raus. Wenn man dann von S noch senkrecht runter auf die Gerade geht und den Punkt E nennt, kriegt man noch eine Dreieicksgleichung und die Eigenheit, dass AE + EB = 2 sein muss.
Zu guter letzt ist wegen der Drehsymmetrie des Problems der Punkt S offensichtlich genau 1/2 von jeder gerade entfernt, sprich die Strecke SE hat Länge 1/2.
Wenn man das einsetzt, kommt leider keine schöne quadratische Gleichung raus, aber die Lösungen dieser sind 1-sqrt(3)/2 und 2-1-sqrt(3)/2, was beides positiv und im Intervall [0,2] liegt. macht aber nix, da das eine AE und das andere EB ist und halt vertauschbar, da das Thalesdreieck auch gespiegelt die gleiche Gleichung erfüllt. Damit kann man nach AS^2 auflösen, was man dann nur noch vervierfachen muss, da (2*AS)^2 = 4*AS^2.
Hat auch halbwegs funktioniert (Danke Wolfram Alpha für die quadratische Gleichung...) aber war leider nicht so elegant und hat ein paar kleinere Fallstricke.
Schöne Aufgabe
Juhuuu endlich was vom Känguru, Marc-Uwe Kling wäre stolz 😬
Haha, ja MUK ist super! 😅
@@MathemaTrick Liebe MathaTrick würdest du bitte die Lernvideos über Parallelverschiebungen und ihre Eigenschaften und Ausführung Klasse 6 hochladen .Im Voraus Vielen Dank. Viele Grüße
Bis bald .
Kann man doch auch super easy mit sinus und cosinus lösen. Die kreise Treffen sich bei y = 0,5 und wo der sin im einheitskreis 0,5 ist, da ist der cos √3 halbe. Damit hat man als b einfach zweimal die strecke bis zum treffen der Kreise ergo 2 + √3
In 2,5 minuten hätte ich das jedenfalls nicht geschafft :D Tolles Video :)
Hallo Susanne, erst mal mein Dank für die schöne Aufgabe!
Hier meine einfachere Lösung (Kongruenz/Strahlensatz/Pyth.)
neue Punkte: K (Zentrum linker Kreis), T (Berührungspunkt der Halbkreise), E (orthogonal unter D) M (Mitte von AE, knapp links von B)
Wegen der Kongruenz der rechtwinkligen: M ist die Mitte von AE, orthogonal unter T, TM ist (Strahlensatz) 1/2
KM = √(1^2 - (1/2)^2) = √(3/4)
AD^2 = (1 + 2*KM +1)^2 + 1^2 = (2 + √3)^2 + 1 = (4 + 4√3 + 3 + 1 = 8 + 4√3 = 4(2 + √3)
Die Lösung basiert also auf dem Dreieck KMT!
So hab ich's auch berechnet.
Unser Sohn hat letzte Woche tatsächlich mitgemacht und genau von dieser Aufgabe später zu Hause erzählt. Bis zum ersten Dreieck ist er noch gekommen aber dann hat er das zweite Dreieck am mittleren Berührpunkt nicht „gesehen“ und sich dann nicht länger damit aufgehalten. Wie du schon sagst, nicht viel Zeit für 30 Aufgaben und raten darf man auch nicht, denn bei falschen Antworten werden Punkte abgezogen! Danke für die Erklärung, als du das 2. Dreieck eingezeichnet hast, haben wir beide laut „ahhhhaa“ gemacht und uns geärgert, dass es einem doch so schwer fällt etwas out of the box zu denken. Dabei hatte ich früher ne 1 in LK Mathe 🙄
Hätte ich letzte Woche gebraucht! Die war einer der 4 Aufgaben, die ich nicht lösen konnte.
Sehr spannend
Freut mich ☺️
Muito bom!
Ich fand das Video super. Ich habe den Känguru Test heute geschrieben und diese Aufgabe aufgrund des Zeitdrucks nicht geschafft. Jetzt ärgere ich mich das das so leicht war und ich das nicht gleich verstanden habe.
2 min. pro Aufgabe! Ich hätte das auch in zwei Jahren nicht gelöst! 😂
An sich ein sehr schöner Lösungsweg. Ich hatte das kleine rechtwinklige Dreieck nicht gesehen. Wäre es aber nicht einfacher gewesen, die gesamte untere Seite des kleinen rechtwinkligen Dreiecks als y zu setzen (sodass die untere Seite des großen rechtwinkligen Dreiecks y+2 statt y+3 ist)?
Danke Susanne. Ich war erstmal hilflos. Aber Dein systematischer Weg hat mir nun weitergeholfen. Und das alles mit einen wunderbaren Lächeln 😊.
Hi, ich schaffte die 3,86 für AD, indem ich ein Dreieck bildete, durch M, dem Schnittpunkt von AD mit den Kreisbögen, dem Radius 1m und der Senkrechten (welche ja 1/2 m ist). Damit konnte ich AD bestimmen... 😅 Die Aufgabe kann easy mit Pythagoras gelöst werden. Allerdings sind mehrere Ansätze möglich. Das ist dann schon schwierig, wenn es um die Zeit geht, um den richtigen schnell zu finden. Die Aufgabe steckt ja voller Möglichkeiten, Ansätze zu bilden...
Hab von der 5. bis zur 9. immer beim Känguru Wettbewerb mit gemacht, mit einem Klassenkameraden. Wir waren aus 3 Klassen, die zwei besten unserer jeweiligen Klassenstufe (Realschule). Hatten beide nie mehr als 4 richtige Aufgaben, sind also nie weiter gekommen 😅
❤❤
Ich bin einfach nur happy, dass es den Kängeru-Wettbewerb noch gibt. Habe damals in der 6. Klasse teilgenommen und auch ein T-Shirt und ein Puzzel gewonnen. Hat Spaß gemacht, war knifflig und eine Abwechslung zum Schulunterricht.
Mich hat es immer genervt das wir mitmachen mussten und dafür auch noch 2€ bezahlen sollten und meine Klasse war immer letzter platz
Mich hat die aufgabe so aufgeregt, weil ich nicht genug zeit hatte
Nebenbei bemerkt: Der Berührpunkt der beiden Halbkreise liegt "0,5 über Grund"; der Winkel bei A zwischen der roten Linie und der "Grundlinie" muss 15 Grad betragen...
👍
Ich habe lange gedacht, das die Wurzel zb von 9 gleich +-3 ist, aber sie ist natürlich nur +3. Daher habe ich besonders aufgepasst, wie du das erklärt hast. Ggf kann man durchaus in RUclips vermitteln, dass wurzel(x^2) eben betrag(x) ist und nicht x, aber eben das plus minus Nicht von der Wurzel kommt
Hey, könntest du vielleicht auch ein, zwei Videos zu den Aufgaben der 11. - 13. Klasse machen?
Herzlichen Dank für die interessante Aufgabe aus der Geometrie 🙏 Danke für Deinen eleganten Lösungsweg, bei meinem Lösungsvorschlag habe ich BD= 2m genommen, dann wäre die gerade Linie (DO) zwischen D und O mit dem Radius des Kreises identisch und 1 m lang, der Satz von Phytagoras wäre: BD²= BO²+DO² ist: 2²=BO²+1 somit BO= √3, und der 2. Satz nach Pythagoras wäre: AD²= AO²+DO², AO= AB+BO= 2+√3, somit: AD²= (2+√3)²+1² = 4+3+4√3+1= 8+4√3 konnte ich finden.
Großartig Frau Susanne !
Bin nach über einer Stunde zwischen Thales und Pythagoras auf dem Holzweg gelandet. Ihre Erklärung war das "Helferlein", allein würde ich jetzt noch tüfteln ...
Bei dir sieht das immer so einfach aus, wie viel Zeit brauchst du denn so ungefähr für so aufgabe oder machst du die so aus dem Kopf ganz locker?
Lösung:
Was brauchen wir?
Die Strecke AD quadriert ist ja genau die Hypotenuse im Satz des Pythagoras. Wir brauchen also die beiden Katheten.
Eine Kathete ist der horizontale Abstand von AD und die andere Kathete ist der Abstand zwischen den Parallelen.
Was wissen wir?
Da die zwei Halbkreise sich berühren, kann man eine Hilfslinie zwischen den Mittelpunkten einzeichnen, die genau den zwei Radien, also 2m, entspricht (Berührung = Tangente = 90° Winkel). Dazu kommt der Abstand zwischen den Parallelen, der auch durch Berührung mit den Halbkreisen auf einen Radius, also 1m, definiert werden kann.
Was muss berechnet werden?
Um die Aufgabe zu lösen brauchen wir den horizontalen Abstand zwischen A und D. Dieser wird berechnet aus dem horizontalen Abstand der Mittelpunkte plus zwei Radien (je ein Radius links und rechts).
Nennen wir den horizontalen Abstand der Mittelpunkte a.
Über Hilfslinie, den Parallelenabstand und den Satz des Pythagoras können wir a berechnen:
(2m)² = (1m)² + a²
4m² = 1m² + a² |-1m²
3m² = a² |√
a = √3 m (-√3 m macht keinen Sinn, da wir von einer Strecke reden)
Jetzt haben wir alles um die Strecke AD quadriert zu berechnen:
AD² = (1m)² + (a + 2m)²
AD² = 1m² + a² + 2*2a m + 4m²
AD² = 1m² + 3m² + 4√3 m² + 4m²
AD² = 8m² + 4√3 m²
Wieder einmal kommt von dir die beste Lösung. Sehr sauber gelöst. Schnell und einfach zur Lösung.
Ich frag mich nur, wie sie jetzt schon zu den Aufgaben kommt.
Auf der Känguru-Seite finde ich noch keine Aufgabensammlung zum Jahr 2023.
LG Gerald
@@GetMatheFit Vielen Dank, für die netten Worte. :)
Vielleicht kriegt sie als Lehrerin Früh-Zugriff?
Auf den 1.Blick habe ich gedacht AD=2×Wurzel 3, das Quadrat =12.
Dann genauer hingeschaut und gesehen, daß die Grundseite bis zur Senkrechten von D 1+ cos30° + cos30° +1 ist. Dann geht's weiter wie bei Dir : Grundseite^2 + Höhe^2 = x^2.
LG Volker
Sieht doch recht einfach aus...
Man sieht sofort, dass das kleine Dreieck (A, B, Berührungspunkt) rechtwinklig ist und die Höhe 1/2 hat. Die Fläche ist also 1/2 Grundseite * Höhe = 1/2. Setzt man zwei dieser Dreiecke zu einem Rechteck zusammen, hat dieses die Fläche 1 und als Seiten die Katheten des Dreiecks, nennen wir sie a und b. Es gilt also a*b=1. Der Pythagoras sagt a²+b²=4, also a²+1/a²=4. Mann kann jetzt substituieren und die quadratische Gleichung s+1/s=4 lösen (s²-4s+1=0), die gesuchte Lösung ist x=2a, also x²=4s.
Achso: die größere Lösung der quadratischen Gleichung ist für die Strecke AD, die kleinere ergibt BC.
Ich hätte nen Vektor AD aufgestellt und davon den Betrag genommen, und dann geschaut, welche der gegebenen Möglichkeit am nähesten an die 17, die dabei rauskommen rankommt, aber so ist es natürlich eleganter
Wo kann ich ein Bild für eine Geometrieaufgabe hochladen?
ein schnellerer Ansatz wäre es die Höhe des halben gleichseitige Dreieck zu nutzen dass sich aus dem Mittelpunkt, dem punkt eines der Kreise und dem Punkt auf den Parallelen auf der Höhe der des Mittelpunkts. 1/2 sqrt(3) wird dann verdoppelt und 2m addiert und dann quadriert und 1 addiert - Fertig :D
Hi du musst unbedingt die Aufgabe mit den 60kmh aus dem Tag der Mathematik an den Deutschen unis machen!
Kreismittelpunkt zu Kreismittelpunkt: 2 m
Vertikaler Abstand der Kreismittelpunkte: 1 m
Horizontaler Abstand der Kreismittelpunkte: 1 m + x
Pythagoras:
(1 + x)² + 1² = 2²
(1 + x)² = 4 - 1 = 3
1 + x = +-√3
x = +-√3 - 1 (negativer Wert von √3 gibt negativen Wert für x)
x = √3 - 1
Horizontaler Abstand von AB:
3 m + x = 3 + (√3 - 1) = √3 + 2
Pythagoras:
AD² = 1² + (√3 + 2)²
AD² = 1 + 3 + 4√3 + 4
AD² = 4√3 + 8 = 4(√3 + 2) ≈ 14,93 m²
ich würde die Gesamtlänge nicht als 3 + y ansetzen, sondern die Senkrechte zu den Parallelen ziehen durch den Berührpunkt der Kreise. Das Stücken jeweils zwischen Kreismittelpunkt und dem Schnittpunkt der Senkrechten auf dieser Gerade ist genau 1/2*sqrt(3) (Berührpunkt auf halber Höhe 30° Winkel). Also Gesamtlänge = 2 + 2*1/2* sqrt(3) = 2 + sqrt(3). Dann weiter wie Du über Pythagoras.
Habe eine kleine frage zur Reihenfolge der Multiplikation. Wenn man Buchstaben ohne Zeichen nebeneinander schreibt, werden sie ja multipliziert.
ab=a*b
ist ab:ab= 1
oder ist ab:ab = b² richtig?
es müsste ja das zweite richtig sein, weil einfach von links nach rechts multipliziert wird und das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt.
a*b:a*b
=a:a*b*b
=1*b²
oder ist dann eine unsichtbare Klammer mit drin:
ab:ab = (a*b) : (a*b) = 1
Der Doppelpunkt als Operator für die Division ist in der Algebra so zu verstehen, dass der folgende Term unter einem Bruchstrich steht. ab : ab ist also 1. Mit einem Bruchstrich ist die Frage sofort beantwortet.
In den Programmiersprachen sind die Operatoren * und / gleichberechtigt und von links nach rechts abzuarbeiten. Schreiben wir a*b/a*b, dann ist das nach der Division b und schließlich b². Wenn das nicht so gemeint ist, sind Klammern zu setzen: a*b/(a*b).
Ganz ehrlich: mit den heutigen Möglichkeiten und angeboten hätte ich richtig Bock nochmal Schüler zu sein. Abi hab ich 2008 gemacht, da ging es grade erst halbwegs los mit Lernvideos..
Ich habs ja mehr mit Rüsseltieren. Grosse Sprünge überlasse ich lieber den anderen, schaue aber gerne zu. Daher vielen lieben Dank nochmal...
LG, Bunti
Der Radius steht nicht senkrecht "auf der TangenteN", wie bei 6:40 mehrfach gesagt, sondern auf der TANGENTE. Singular, Dativ.
😀
Was macht man eigtl. bei solchen Aufgaben, wenn de facto nur falsche Lösungen dastehen?
Lösung a kommt am Nähesten zu meinem Ergebnis (x^2=15,23)
Ich bin einen leicht anderen Weg gegangen. Der Berührpunkt muss bei Y=0.5 liegen. Damit ist die X-Strecke vom Halbkreismittelpunkt bis zum Berührpunkt cos(30°)=wurzel(3)/2. Damit ist die ganze X-Strecke 2 * (1+wurzel(3)/2) = 2+wurzel(3). Das quadriert gibt 7+4wurzel(3).
Und dann noch vom Pytagoras die andere Seite = 1^2 + 7 + 4 wurzel(3) = 8 + 4 wurzel(3)
Hallo Susanne würdest Du bitte die Lernvideos über Parallelverschiebungen ,Einführung und ihre Eigenschaften und Ausführungen Klasse 6 hochladen .Im Voraus Vielen Dank. Viele Grüße
Lösung:
Vom Mittelpunkt des einen Halbkreises zum Mittelpunkt des anderen Halbkreises kann man eine Strecke ziehen mit einer Länge von 2 m. Das ist die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit der senkrechten Kathete 1 m und der waagerechten Kathete √(2²-1²) = √3. AD ist wieder die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit der senkrechten Kathete 1 m und der waagerechten Kathete √3+1+1 = √3+2. Dann ist:
AD² = 1²+(√3+2)² = 1+3+4√3+4 = 8+4*√3
Antwort e) ist richtig.
Super erklärt! Aber jetzt bin ich endgültig überzeugt dass ich die Aufgabe nicht in der Zeit hätte schaffen können...
Dasis ja alles schön und gut... Ich hab es auch zuende geschaut da much das wirklich interessiert hat. Aber: wozu brauch ich sowas im leben? Wozu, wenn ich nicht mathematiker werden will?
könntest auch vllt videos über Exponentialfunktionen drehen?😍
Ich hab sie schon in unter zwei Minuten gelöst, aber ich hab ein bisschen geschummelt.. ich hab mit Vektoren gerechnet, die hatte man in der zehnten noch nicht glaube ich 😂
Ich hab's über Satz von Thales, Höhensatz und Kathetensatz gelöst. Also ganz schön viel Theorie investiert...
Wenn man die 2 Lösungen erst mal beide behält, also +- Wurzel 3, hebt sich das nach dem Einsetzen durch das Quadrieren wieder auf. Irgendwie elegant.
Die Grundseite lässt sich auch als 2+2*cos(pi/6) schreiben.
Pi/6 muss sein weil die Kreise sich in Höhe 0.5 tangieren. Kam mir intuitiver als die Suche nach dem ominösen y 😂
Der Lösungsweg ist in der Fragestellung vorgegeben. Wenn man den Radius berechnen kann, war es das.
Ich bin ein wenig anders herangegangen: ich habe mir die symmetrie zunutze gemacht.
Strecke AD = AD/2 *2 wobei AD/2 der Berührungspunkt der beiden Halbkreise ist jetzt mal AS genannt.
Also ist AD = 2 AS
Da das Quadrat AD gesucht wurde muss die Lösung durch 4 teilbar sein folglich kommt nur Lösung "e" infrage
Ich frage mich, woher man annehmen kann, dass der Berührpunkt der Kreise und der Schnittpunkt mit der gesuchten Geraden identisch ist. An was, was offensichtlich ist, denk ich da gerade nicht? :D
Mein Sohn (10) liebt den Känguru-Wettbewerb (Österreich). Letztes Jahr hat er das erste Mal mitgemacht und den 1. Platz in unserem Bundesland geholt. Heuer hat er es sich zum Ziel gesetzt, in ganz Österreich den 1.Platz zu holen. Natürlich habe ich ihn, so gut ich kann, unterstützt. Immerhin gehören Ziele ja gefördert 😊
Ja
Sorry wir hatten früher mal gelernt, dass eine Gerade keine Anfangs- und Endpunkte hat. Sonst ist es eine Strecke.
Ist das heute anders?
3,87
Hätte wohl die Frage lesen sollen. Ich hatte für die Länge der Seite AD = 2*sqrt(2+sqrt(3)), was mir nicht gefallen hat. Die meiste Zeit habe ich dann damit verbraucht, die Doppelwurzel zu AD = sqrt(2) + sqrt(6) zu vereinfachen.
Und das in 2 Minuten😢😢. Unmöglich!!
Mit über 11 Minuten hast du jetzt leider zu lange dafür gebraucht xD
Sie hat aber das Video so gedreht, dass sie die Aufgabe jedem didaktisch gut erklären kann. Deshalb ist das Video so lang geworden (auch, wenn ich der Meinung bin, dass ihr Lösungsweg etwas aufwendig ist).
@@timurkodzov718 Das ist mir doch klar mann :D
@@timurkodzov718 so etwas nennt man humor
@@paulxy952 Sorry, ich habe einmal falsch gelesen. (Habe xD überlesen).
@@paulxy952 Humor ist, wenn man trotzdem lacht
14,9282 m²
Wurzel 17
Ein anderer Weg:
Ich nenne O und O' die Mittelpunkte der Halbkreise. Ich nenne I den Berührpunkt, H seinen Senkrechtepunkt unten, H' seinen Senkrechtepunkt nach oben, und D' den Senkrechtepunkt von D.
HH'=1
IH=1/2
sin(IOH)=IH=1/2 also IOH=30°
cos(IOH)=cos(30°)=√3/2=OH
AD' = AO+OH+H'O'+O'D = 1+√3/2+√3/2+1 = 2+√3
Dann Pythagore in ADD' :
x² = (2+√3)² +1²
x² = 8+4√3
Eine frag ich ganz habe ich noch wer hat die Aufgabenstellung geschrieben und wurde er dann endlich eingewiesen noch umstehendlicher hätte man es nicht schrieben können oder? Ich dein Mathe Wettbewerb oder ein deutsch Wettbewerb (wer kann ich Aufgabenstellung richtig interpretieren)
Bei allem Respekt dafür, dass Sie diese schöne Aufgabe popularisieren wollten: Sie haben es leider versäumt, sich auf der Känguru-Website zu versichern, ob die Aufgaben überhaupt schon veröffentlicht werden dürfen. Die Antwort wäre gewesen: Nein, dürfen sie nicht! Denn in einigen Bundesländern wird der Wettbewerb 2023 erst am 18. April ausgetragen, und Schü. aus diesen Ländern haben nun -- in diesem Doppeljahrgang -- einen beträchtlichen Vorteil im Rennen um die Preise. Bitte respektieren Sie zukünftig nicht nur die Mathematik im Beutel des Kängurus, sondern auch den mit ihm hüpfenden Wettbewerbsgedanken!